A new topology optimization employing adaptive inner-front level set method is presented.
In the conventional level set based topology optimization, the optimum topology strongly depends on the initial level sets due to the incapability of inner-front creation during optimization process. In the present work, in this regard, an algorithm for inner-front creation is proposed, in which the sizes, the shapes, the positions, and the number of new inner-fronts during the optimization process can be globally and consistently identified.
In the algorithm, the criterion of inner-front creation for compliance minimization problem of a linear elastic structure is chosen as the strain energy density along with volumetric constraint. In order to facilitate the inner-front creation process, the inner-front creation map is constructed and used to define new level set function.
In the implementation of inner-front creation algorithm, to suppress the numerical oscillation of solutions due to the sharp edges in the level set function, the domain regularization is carried out by solving the edge smoothing partial differential equation (edge smoothing PDE).
In order to update the level set function during the optimization process, in the present work, the least-squares finite element method (LSFEM) is adopted. Through the LSFEM, a symmetric positive definite system matrix is constructed, and non-diffused and non-oscillatory solution for the hyperbolic PDE such as level set equation can be obtained.
Two-dimensional structural topology optimization problems subjected to volume constraint are treated for verification purpose. As a real-world application, topology optimization of three-dimensional shell structures is carried out. From the numerical examples, it is shown that the present method brings in much needed flexibility in topologies during the level set based topology optimization process.
1980년대 이르러 본격적으로 발전하기 시작한 구조물의 최적설계 이론은 과거 제한된 설계변수를 사용한 설계 이론과 달리, 컴퓨터 기술의 발전과 연동하여 다량의 계산이 요구되는 설계이론의 등장에 이르게 되었다. 경험에 비쳐보면 기존 구조물의 경량화에 있어서, 만일 구조물이 비교적 잘 설계되어 있다면 구조물의 크기나 외형 형상을 변경해 경량화를 시도한다 하여도 큰 효과를 얻을 수 없는 경우가 많으며 내부에 구멍을 내거나 내부 구멍까지 포함한 형상 변경이 이루어져야 한다. 이러한 점을 고려해 볼 때 본질적으로 다른 설계 방법의 도입이 요구된다. 즉, 구조물의 최적 위상을 구하여야 하는 문제인 것이다. 1988년에 발표된 BendsØe와 Kikuchi의 논문은 복합재료의 해석방법인 균질화법을 구조 최적설계법과 연결시킨 발상의 전환으로, 연속체 구조의 위상최적설계 문제에 새로운 전기를 마련하였다. 이러한 위상최적설계의 적용은 신제품 개발단계에서 구조물 설계시간을 단축하면서도 효율적인 설계를 가능하게 해준다. 일례로, 구조물이 생성될 영역과 구조물에 작용하는 하중 및 경계조건을 명시하고 소요될 재료를 분포시키면 경험이 없는 설계자라도 최대강성을 갖는 구조물을 빠른 시간 내에 구할 수 있게 된다. 이러한 위상최적설계는 현재까지 다양한 공학설계 및 다물리분야의 문제에 적용되고 있다.
하지만 위상최적설계의 눈부신 이론적 발전과 공학적 적용에도 불구하고 몇가지 문제점을 안고 있다. 그 중에서 잘 알려진 단점으로는 바둑판 무늬 생성, 불명확한 경계 발생, 그리고 하나의 절점으로 연결된 구조의 형성 등이 존재한다. 이러한 단점을 개선하고자 하는 연구도 현재까지 다양하게 진행되어 오고 있는데, 일례로, 바둑판 무늬의 생성을 억제하기 위해 유한요소에서 정의되는 요소의 밀도값을 인접 요소의 밀도값을 고려해 서로 평균을 내거나 필터링해주는 연구가 진행된 바 있다.
한편으로 기존의 위상최적화 개념에서 탈피하여 새로운 방법론을 적용한 연구도 현재까지 다양하게 진행되고 있다. 그 중의 한 가지 방법으로서, 레벨셋 방법을 이용한 레벨셋 위상최적화가 Sethian과 Wiegmann에 의해 제안되었다. 이 방법에서는 구조물의 최적형상을 찾기 위해, 고차원 상에서 정의되는 레벨셋 함수를 도입하고 그 함수값이 일정한 상수값을 갖는 등위선 (혹은 등위면)을 고려하여 이를 시간에 따라 진화시키게 된다. 구조물의 경계가 진행하는 방향과 그 크기는 설계민감도해석으로부터 계산된 설계민감도값을 이용한다. 이러한 레벨셋 위상최적화는 기존의 위상최적화에 비해 구조물의 경계가 설계변수이므로, 그 경계로부터 재료가 존재하는 영역과 존재하지 않는 영역을 명확히 구분할 수 있어 기존의 CAD/CAE 프로그램과 연동하여 설계자동화를 쉽게 구현할 수 있고 바둑판 무늬의 형상과 같은 문제가 발생하지 않는 장점을 가지고 있다. 하지만 이와 동시에 몇 가지 문제점도 가지고 있는데, 일반적으로 기존의 레벨셋 위상최적화에서는 축차과정에서 진화하는 설계영역 내의 내부 경계가 서로 합쳐지기만 할 뿐 새로운 내부 경계를 생성하지 못하게 된다. 따라서 초기에 많은 수의 내부 경계를 주고 난 후 최적화를 진행하여야 한다. 이로 인해 초기의 내부 경계의 위치, 수 등의 인자에 따라 최적해가 크게 의존하는 문제점을 안게 된다.
본 연구에서는 이러한 문제점을 해결하고자 최적화의 과정 중에 적응적으로 새로운 내부 경계를 생성할 수 있는 알고리즘을 제시한다. 내부 경계를 새롭게 생성하기 위한 알고리즘에서는 추가적인 내부 경계 생성을 위한 민감도 해석없이, 최적화를 진행하는 과정에서 계산하여야 하는 탄성에너지 밀도값을 그 생성기준으로 선정하여 부피제한조건을 만큼 내부 경계가 생성될 수 있게 하였다. 이러한 개념을 적용하게 되었을 때 기존의 제한된 재료량을 효과적으로 사용하고자 하는 기본 설계개념에도 잘 부합됨을 알 수 있다. 이렇게 구성된 내부 경계 생성 알고리즘은 최적화의 축차과정에서 생성될 수 있는 내부 경계의 크기, 위치, 모양을 동시에 한 번에 결정할 수 있는 장점을 가지고 있다. 또한 본 연구에서는 내부 경계 생성 시 발생하는 레벨셋 함수의 급격한 변화로 인한 수치적 불안정성을 제거하기 위해 편미분 방정식에 근거한 영역 완화법을 적용하였다. 그리고 경계의 시간에 따라 진화를 관장하는 레벨셋 방정식을 풀기 위해서, 기존의 레벨셋 위상최적화의 유한차분법과는 달리, 유한요소법에 근거한 최소제곱유한요소법을 적용하였다. 최소제곱유한요소법을 이용함으로써 하나의 유한요소해석 기법만을 필요로 하게 되며, 복잡한 경계조건이나 해석 영역을 쉽게 다룰 수 있는 장점을 가지게 된다.
제안된 알고리즘의 검증에서는 2차원 탄성 구조물의 레벨셋 위상최적화를 다루었다. 검증예제에 대하여 요소의 크기, 초기 내부 경계의 분포, 설계영역의 형상, 내부 경계 생성 횟수, 레벨셋 방정식의 계산 횟수 등이 최적해에 미치는 영향을 관찰, 비교하였다. 검증예제의 결과를 바탕으로 제안된 최적화 알고리즘을 3차원의 쉘 구조물의 설계에 확장하였으며, 곡률을 갖는 쉘 구조물, 강철 덱, 경량화 조각거울의 설계에 적용하였다. 적응예제의 결과로부터 제안된 알고리즘이 기존의 레벨셋 위상최적화에 있어서 단점을 해결하면서 최적해의 도출에 상당히 요구되는 유연성을 줄 수 있음을 확인하였다.
