Since the Unitary Extension Principle (UEP) [11] emerged into the real world, studies about the construction of tight wavelet frames have been prevailed. Among these studies, (anti)symmetric compactly supported tight wavelet frames are paid a good attention in both theory and practice. Petukhov proved in [10] that an interpolatory symbol h0 admits (anti)symmetric solutions to UEP if and only if Since the Unitary Extension Principle (UEP) [11] emerged into the real world, studies about the construction of tight wavelet frames have been prevailed. Among these studies, (anti)symmetric compactly supported tight wavelet frames are paid a good attention in both theory and practice. Petukhov proved in [10] that an interpolatory symbol h0 admits (anti)symmetric solutions to UEP if and only if $h_0(z)=(z^{1-2N}+2+z^{2N-1})/4$. These solutions generate a refinable function only when N = 1, i.e., the refinable function is the piecewise linear B-spline. Motivated by this result, we considered the quasi-interpolatory filters of [2], which generate the refinable functions that reproduce polynomials up to cer- tain degrees. These filters (or masks) are generated with a free tension parameter ω by the quasi-interpolatory subdivision scheme [2]. A general formula for even degrees was presented in [9]. This thesis deals only with the case of degree L = 1, 2, 3, 4, and 5 because of the computation complexity. For the practical advantages, three generators of (anti)symmetric compactly supported tight wavelet frames were employed with a time-frequency overcom- plete filter bank [12]. We determined all the possible tension parameter ω's which provide the (anti)symmetric compactly supported tight wavelet frames in each degree. The smoothness, approximation order, and vanishing moments of each case were computed. In addition to the construction of the tight wavelet frames, some application to signal and image denoising are presented.. These solutions generate a refinable function only when N = 1, i.e., the refinable function is the piecewise linear B-spline. Motivated by this result, we considered the quasi-interpolatory filters of [2], which generate the refinable functions that reproduce polynomials up to cer- tain degrees. These filters (or masks) are generated with a free tension parameter w by the quasi-interpolatory subdivision scheme [2]. A general formula for even degrees was presented in [9]. This thesis deals only with the case of degree L = 1, 2, 3, 4, and 5 because of the computation complexity. For the practical advantages, three generators of (anti)symmetric compactly supported tight wavelet frames were employed with a time-frequency overcom- plete filter bank [12]. We determined all the possible tension parameter $\omega$'s which provide the (anti)symmetric compactly supported tight wavelet frames in each degree. The smoothness, approximation order, and vanishing moments of each case were computed. In addition to the construction of the tight wavelet frames, some application to signal and image denoising are presented.
Petukhov는, “대칭 타이트 웨이블릿 프레임을 만들기 위해서, 보간필터로부터 생성될 수 있는 정련가능 함수는 구분 선형 B-스플라인 뿐”이라는 것을 [10]에서 증명하였다. 보간 필터에 대한 이러한 부정적인 결론을 동기삼아, 본 논문에서는 일정 차수까지의 다항식을 재생성하는 정련가능 함수를 생성하는 유사보간 필터로 논의를 확장함으로써 긍정적인 결론을 이끌어내었다. 우리는 유사보간 서브디비젼 마스크로부터 생성가능한 모든 대칭 옹골받침 타이트 웨이블릿 프레임을 결정하였다. 계산의 복잡성 때문에, 이들 마스크의 차수를 1부터 5까지로 제한하였다. 각 차수에서 대칭 옹골받침 타이트 웨이블릿 프레임을 제공하는 장력 인자 ω는 다음과 같다.
L = 1 : 0 ≤ω＜1,
L = 2 : $\omega=\frac{1\pm\sqrt{2}}{4}$,
L = 3 : $\omega=-\frac{1}{64},\frac{15}{64}$,
L = 4 : no ω`s,
L = 5:$\omega=\frac{25(13+5\sqrt{37})}{65536},\frac{21}{32768}$.
실용적인 목적을 위해, [12]으로부터 시간-주파수 초과완비의 필터뱅크를 이용하였다. 이런 필터뱅크 구조로 인해, 우리의 웨이블릿 프레임은 근사적인 이동 무변성과 중간 주파수 척도를 갖는데, 이들은 신호 및 영상처리의 많은 응용들에서 고도로 요구되고 있다. 이러한 특성들은 우리의 웨이블릿 시스템을 Daubechies의 표준적인 웨이블릿 시스템보다 더욱 매력적이게 한다. 예를들면, 신호 및 영상 잡음 제거 응용에 대한 결과는, 차수 L = 5에서 장력 인자가 $\omega=\frac{25(13+5\sqrt{37})}{65536}$ 인 우리의 웨이블릿 프레임(소멸 모멘트가 3)이 Daubechies의 정규직교 3 및 상호직교 (7,9) 웨이블릿 시스템들(각각, 소멸 모멘트가 3, 4)보다 더 적은 RMS 에러를 보여주었다. 그러므로, 우리의 웨이블릿 시스템은 신호 및 영상에 퍼진 잡음을 이러한 기존의 웨이블릿 시스템들 보다 효율적으로 제거한다고 결론지을 수 있었다.
