We analyze dynamics of the complex Ginzburg-Landau equation by sequential reduction. First the complex Ginzburg-Landau equation is reduced into a high-dimensional ordinary differential equation by proper mode truncation, and analyzed with varying control parameters. The parameter representing energy change determines the stability of single-lobed tori, and thus it crucially affects the destabilizing route of periodicity. Various features occur in the bifurcation sequences including complex hysteresis. A simple hysteresis refers to subcritical transitions between two different dynamical phases at two different values of a control parameter in a simple dynamical system. In contrast to such simple hysteresis, we report here a more complex form where more than two different dynamical phases are participating in the process. One-dimensional return maps are used to investigate the basic characteristics of this system.
복소 긴즈버그 란다우 방정식은 비선형 매질에서의 파동방정식을 기술하는 매우 일반적인 형태로서 많은 물리 현상에서 관찰된다. 이 논문에서는 이를 분석하기 위해 점차로 간단한 계로 환원시켜가는 과정을 탐구하였다. 원래의 비선형 편미분방정식은 무한한 수의 자유도를 가지지만 스펙트럼 분석해보면 가장 중요한 몇 개의 모우드들로 근사할 수 있다. 이를 통해 4차원의 상미분방정식계를 얻게 되는데, 푸앵카레 단면법을 통해 3차원으로 관찰해보면 이것이 로렌츠 방정식과 정성적으로 일치하는 다양체 구조를 지님을 알 수 있다. 에너지 변화와 관계되는 맺음변수인 $\epsilon$은 갈래질 진화의 가운데 나타나는 홑날개 모양의 또아리(torus)가 갖는 안정성을 결정하며, 따라서 전체 갈래질 양상에 큰 영향을 미친다. 적절한 변수로써 갈래질 도표를 그려보면, 그 중간과정에서 복잡이력현상을 비롯한 다양한 비선형 현상이 나타남을 관찰할 수 있다. 이력현상은 보통 서로 다른 두 위상이 공존하면서 버금고비 전이하는 것으로 표현될 수 있는데, 복잡이력현상이란 그 중 한 위상의 동역학적 성질이 안정에서 혼돈까지 급격히 바뀔 수 있음을 의미한다. 이력현상이 가지는 기억 효과가 응용에서 가지는 중요성을 헤아려볼 때, 그 기작은 탐구될 가치가 있다. 일반적인 모형으로서 우리는 일차원의 사상을 도입하여 원래의 계가 가지는 성질이 충분히 모사됨을 보일 수 있었다. 나아가 이 일차원의 사상이 온곳 갈래질(global bifurcation)의 이론에서 근거를 가짐을 언급하였고, 일차원의 사상에서 기호동역학이 깊이 연구되어 있음을 이용하여 이를 이용한 정량적인 계산방식까지 함께 보여주었다. 결국 원래의 비선형 편미분방정식이 단순한 기호열로서 분석될 수 있는 가능성을 이 논문은 제시하고자 하였다. 이러한 단순화는 특히 흩어지기 계(dissipative system)의 경우에 중요한 분석절차가 될 수 있을 것이다.