In the field of signal processing, the concept of the dual basis is important in decomposing an analog signal into discrete representation. In the recent, study of the compactly supported oblique dual generators associated to the Riesz sequences of integer-shifts is done by Christensen et al. In this thesis, we study the polynomial oblique dual generators of the Riesz sequences of integer translates which has the minimal degree. We present an algorithm to find a minimal degree polynomial oblique dual generator of the general Riesz sequences of the integer shifts. In addition, we show that the minimal degree of a polynomial oblique dual generator associated to B-spline of order N is N-1. Furthermore, we present two conjectures about the properties of the compactly supported polynomial oblique dual generators such that we have found during this research.
수학분야 뿐 아니라 신호처리 분야에서 아날로그 신호를 이산 신호로 분해 혹은 복원을 위해서는 듀얼 기저의 개념은 중요하다. 듀얼 기저는 일반적인 expansion property를 만족하는 수열들의 제약 조건들을 완화시켜줄 수 있는 개념이다. 최근에 여러 사람들이 정수이동 Riesz 수열의 오블리크 듀얼 생성자에 관한 연구를 하였고, 컴팩트 받침 생성자에 의한 정수이동 Riesz 수열에 대해서 컴팩트 받침을 갖는 다항식 오블리크 듀얼 생성자가 존재함이 알려졌다. 오블리크라 함은 듀얼 생성자의 존재 공간의 제한조건을 완화시킴을 의미한다. 본 학위논문은 컴팩트 받침 생성자에 의한 정수이동 Riesz 수열에 대한 최소차수 다항식 오블리크 듀얼에 관한 연구이다. 본 학위 논문에서는 일반적인 정수이동 Riesz 수열에 대한 최소차수 다항식 오블리크 듀얼을 구하는 알고리즘을 제시하였다. Row-echelon form 과 matrix extension 프로세스를 정의하여 다항식 오블리크 듀얼의 최소 차수를 구하는 알고리즘을 제시하였다. 그리고 특히, B-스플라인 생성자에 대한 다항식 듀얼 생성자의 최소차수는 주어진 B-스플라인의 degree와 같음을 증명하였다. 그리고 B-스플라인에 의한 다항식 듀얼 생성자들의 여러가지 특수한 성질들을 발견하였고, 이에 대한 증명을 추가 연구주제로 제시하였다.
