In this thesis, we mainly focus on two subjects. The first is class field theory in ideal language which introduces the Artin map and guarantees the existence of class fields. The second is to find equivalence conditions which primes can be written in the form of $x^2+ny^2$. Gauss first introduced field theory beyond arithmetic approach, and we will use modern class field theory to give the exact description for the solution of this problem.
Although $x^2+ny^2$ is a type of quadratic forms, we will introduce general quadratic forms, and make a class group. Then we will relate a form class group with an ideal class group, which leads us to class field theory. Our problem is closely related to a prime ideal factorization and the class fields, actually the Hilbert class fields and the ring class fields. For an example, we will give an equivalence condition for the primes expressed in the form of $x^2+64y^2$.
본 논문에서는 다음의 두가지 주제에 대해 다룬다. 첫째는 아틴함수를 이용해 아이디얼 언어로 기술되는 유체론인데 유체의 존재성을 보장하게 된다. 둘째는 소수가 $x^2+ny^2$ 형태로 표현 가능한 조건을 찾는 것이다. 가우스는 산술적 접근을 넘어서 처음으로 체를 이용해 문제를 풀었고 우리는 현대적인 유체론을 이용해 이 문제의 정확한 답을 얻어낸다.
일반적인 이차형식을 소개한 뒤 그것들을 형식유군으로 만들고 아이디얼유군과 동형임을 보인다. 결국 자연스럽게 유체론을 이용해서 우리의 문제를 해결하게 되는데 구체적으로 힐버트체와 환체에서 소아이디얼 인수분해와 관련된다. 하나의 예로 $x^2+64y^2$으로 표현되는 소수의 조건을 찾는다.
