The subject of M/G/1 queue has been studied extensively in the literature by a number of researchers. Specially, M/G/1 queue with generalized vacations model has a very useful property named stochastic decomposition. On the contrary, the subject of GI/M/1 queue has been studied by quite fewer researchers. So the main objective of this paper is to present a simple method for analyzing GI/M/1 queue.
For GI/M/1 queue, if we pick imbedded point by the instance prior to an arrival time, we can define Markov chain. Then from the transition probability matrix P associated with the imbedded Markov chain we make the balance equations. When ρ<1, the balance equations have one unique solution. So once we have a proper trial solution for the balance equations, we can easily the trial solution is right by substituting the trial solution into the balance equations. And we suggest the trial solutions using the regenerative process. Using this trial solution approach, we obtain the distribution of number of customers for N-policy GI/M/1 queue with EMV. Also From these results, we obtain the distribution of number of customers for N-policy GI/M/1 queue and GI/M/1 queue with EMV. And the decomposition does not hold for the N-policy GI/M/1 queue with EMV.
We hope that we can use this trials solution approach in order to analyze other vacation types of the GI/M/1 queue and evaluate this tools for analyzing Multi-server GI/M/c queues.
M/G/1 모형의 경우는 여러 가지 성능척도가 널리 알려져 있고 그 분석 방법 또한 내재시점 마코브 체인, 부가변수법, 도착시점 분석방법 등으로 다양하다. 또한 휴가형 M/G/1 모형의 경우는 고객수분해속성이 성립하기 때문에 지금까지 알려진 모든 휴가형 대기행렬에 대하여 고객수 분포를 구할 수 있다. 그러나 이에 반하여 휴가형 GI/M/1 모형의 경우는 분석방법도 내재시점 마코브 체인만이 알려져 있고 그 과정 또한 매우 복잡하다. 또한 휴가형 GI/M/1 고객수 분포도 일부 휴가(N-policy, 지수분포 복수휴가)만이 알려져 있다. 이에 본 논문에서는 GI/M/1 모형의 고객수 분포를 구하기 위한 쉽고 새로운 방법을 제시하고자 한다.
기존의 내재시점 마코브 체인은 도착직전 시점을 내재 시점으로 잡아 평형방정식을 만들어 그 평형방정식을 직접 푸는 방법이다. 내재시점 마코브 체인은 모든(휴가형) GI/M/1 모형에 적용될 수 있다는 장점이 있지만 실제로 평형방정식을 직접 풀기는 그 복잡성 때문에 무척 힘들다. 이것은 휴가형 GI/M/1 모형이 지금까지 많이 분석되지 않은 이유 중의 하나이다. 평형 방정식은 시스템에 안정상태에 머무를 수 있을 경우 하나의 근만을 가진다. 본 논문에서는 이점에 착안하여 평형방정식을 직접 풀기보다는 방정식을 만족시키는 시험해를 다른 방법으로 구하고 이 시험해를 방정식에 대입하여 시험해의 타당함을 증명하는 방법을 사용한다.
시험해를 구하는 방법은 다음과 같다. 먼저 시험해를 구하기 위한 식으로 널리 알려져 있는 Burke의 정리(도착 직전 시점 고객 수 = 이찰 직후 고객 수)과 서비스 시점 PASTA를 사용하였다. 그리고 Sample Path에 재생성시점과정을 적용하여 임의시점 고객 수와 도착 직전 시점 고객 수, 이탈 직후 시점 고객수 에 대한 새로운 식을 만들었다. 표준 GI/M/1 모형의 경우 위의 세 식으로 만든 시험해를 평형방정식에 대입한 결과 기존 결과와 동일한 결과를 나타냄을 알 수 있었다. 또한 이 시험해 방법을 이용하여 기존에 알려져 있지 않은 N-policy와 지수분포복수휴가 정책을 모두 가지는 GI/M/1모형의 고객 수 분포를 구하였다. 도출한 결과를 바탕으로 고객의 대기시간 분석, 평균 고객 수, 평균 대기시간 등의 성능척도를 구하였다. 또한 각각의 휴가 정책만 가미된 N-policy GI/M/1 모형과 지수분포 복수 휴가형 GI/M/1 모형의 고객 수 분포를 각각 도출해 낼 수 있고 이는 기존 결과와 동일하다.
본 논문에서 사용한 시험해 방법은 접근과정이 기존의 방법보다 더 간편하기 때문에 GI/M/1 모형의 분석에 있어서 널리 사용될 수 있고, 특히 아직 고객 수 분포가 알려지지 않은 휴가형 GI/M/1 모형의 분석에 사용할 수 있다. 또한 단수 서버가 아닌 서버가 여러 개가 있는 복수 서버 GI/M/c 모형의 분석을 위한 도구로써의 확장에도 사용될 수 있다.
