This dissertation proposes an efficient eigenvalue solution method for structures by improving Lanczos method. An improved Lanczos vector superposition method for efficient dynamic response analysis of structures is also proposed in this disseration.
The Lanczos method is an efficient eigenvalue solution method. In the field of quantum physics, the modified Lanczos algorithm using the technique of matrix power was presented to more efficiently obtain the eigenstate of quantum systems. Similar power technique was also applied to the subspace iteration method. However, the matrix-powered algorithm has not been applied to the Lanczos method for structural eigenproblems. This dissertation proposes an improved Lanczos method for eigenvalue analysis of structures by applying the power of the dynamic matrix. The convergence of proposed matrix-powered Lanczos method is better than that of the conventional Lanczos method because the matrix-powered Lanczos algorithm can reduce the number of required Lanczos vectors. The number of operations of proposed method is also smaller than that of the conventional method. However, in some cases, high power value of the dynamic matrix causes numerical instability. Therefore, special care must be taken in the selection of power value. By analyzing four numerical examples such as a simple spring-mass system, a plane frame structure, a three-dimensional frame structure and a three-dimensional building structure, the efficiency of the proposed matrix-powered Lanczos method is verified and the suitable power value of the dynamic matrix is presented. The proposed matrix-powered Lanczos method is also compared with the matrix-powered subspace iteration method through numerical examples.
The Lanczos vector superposition method is efficient in the dynamic response analysis of structures. However, it has some drawback. For example, if multi-input loads such as moving loads on bridges, winds acting on high-rise buildings and wave forces applying to large offshore structures are applied to structures, the calculation of transformed force vector requires many computing operations. An improved Lanczos vector superposition method is proposed in this dissertation to overcome the shortcoming. Proposed method is obtained by introducing the modified Lanczos algorithm that generates stiffness-orthonormal Lanczos vectors. Since proposed Lanczos vector superposition method can reduce computing operations for transformed force vector, proposed method is more efficient than the conventional Lanczos vector superposition method in the analysis of structures under multi-input loads. Two numerical examples such as a simple span beam and a multi-span continuous bridge are analyzed to verify the effectiveness of the proposed Lanczos vector superposition method. The results of the proposed method are also compared with those of other vector superposition methods such as the eigenvector superposition method, the mode acceleration method, the Ritz vector superposition method and the conventional Lanczos vector superposition method.
본 논문은 Lanczos 방법의 개선을 통해 구조물의 효율적인 고유치 해법을 제안하였다. 아울러, 구조물의 효율적인 동적응답 해석을 위한 개선된 Lanczos 벡터중첩법을 제안하였다. Lanczos 방법은 효율적인 고유치 해법이다. 양자물리학 분야에서 양자의 고유상태를 더욱 효율적으로 계산하기 위해 행렬의 거듭제곱 기법을 도입한 수정된 Lanczos 알고리즘이 적용된 바 있다. 유사한 기법이 부분공간반복법에도 적용되었다. 반면, 그러한 행렬의 거듭제곱 기법이 구조공학 분야의 Lanczos 방법에 아직 적용되지 않았다. 본 논문은 동적행렬의 거듭제곱 기법을 도입한 개선된 Lanczos 방법을 제안하였다. 제안한 알고리즘이 요구되는 Lanczos 벡터의 수를 감소시키므로 제안방법은 기존의 방법보다 수렴성이 더욱 양호하며 연산회수가 더 적다. 한편, 동적행렬의 거듭제곱 시 수치적 불안정 문제가 발생할 수 있으므로 동적행렬의 적절한 거듭제곱값의 선택이 중요하다. 스프링-질량 시스템, 평면 뼈대 구조물, 삼차원 뼈대 구조물, 삼차원 빌딩 구조물의 수치해석을 통해 제안방법의 효율성을 검증하였으며 동적행렬의 적절한 거듭제곱값을 제시하였다. 수치예제로부터 제안방법과 행렬의 거듭제곱 기법을 도입한 부분공간반복법과의 비교를 아울러 제시하였다.
Lanczos 벡터중첩법은 구조물의 동적응답해석에 있어서 효율적이다. 그러나, 교량을 통과하는 이동하중, 고층빌딩에 작용하는 풍하중, 대형 해양구조물에 작용하는 파랑하중 등과 같은 다중입력하중의 해석 시 변환하중벡터 계산에 많은 수치연산이 요구된다는 단점이 있다. 본 논문은 그러한 단점을 극복한 개선된 Lanczos 벡터중첩법을 제안하였다. 제안방법은 기존의 질량 직교조건 대신 강성 직교조건을 만족하는 수정된 Lanczos 벡터를 생성하는 수정된 Lanczos 알고리즘에 기초하고 있다. 제안방법은 다중입력하중의 해석에 있어서 변환하중벡터의 계산시간을 감소시키므로 기존의 방법보다 더욱 효율적이다. 제안방법의 효율성을 검증하기 위해 단경간 보와 다경간 연속교량에 대한 수치해석을 수행하였다. 수치예제를 통해 제안방법과 고유벡터중첩법, 모드가속도법, Ritz 벡터중첩법, 기존의 Lanczos 벡터중첩법 등 다른 벡터중첩법과의 비교분석도 함께 수행하였다.
