In this thesis, I am concerned with two topics on Finite Element Method of elliptic problems : Construction of stable finite element in three dimensional space and a posteriori error estimate for the mixed element method. In Chapter 2, the stable finite element approximation scheme for the Stokes problem in three dimensional space will be analyzed. We will prove the stability condition for some higher degree finite spaces through the modified macroelement condition. Thus, We will show that the mixed finite element method with pressure stabilization (2.2) converges for some higer order conforming tetrahedral elements.
In Chapter 3, we will propose a error estimator for mixed element method of second order ellipitc problems. We will present an error estimator for mixed element method. This estimator will be only computed by edges and be proved to be efficient in sense that it is global upper bounded to the true error. We will present the mixed discretization and a postprocessing technique. whic is based on the elimination of the continuity constraints for the normal components of the flux on the interelement boundaries from the Raviart-Thomas space.
본 논문에서는 타원형 문제의 유한요소법에 대하여 두가지 세부주제인 스톡스 문제에 대한 유한요소공간의 안정성과 Mixed element 방법에 대한 사후 오차(a posteriori error)추정방법에 대하여 다룬다. 제2장에서는 스톡스 문제에 대한 삼차원 공간상의 혼합법에 대한 안정적 유한요소공간을 제안하며, 안정성의 증명은 보안된 거대유한요소 방법을 이용한다. 또한 압력 안정항을 같은 혼합법에 대한 접합(conforming)유한요소 공간들을 연구한다.
제3장에서는 타원형 문제의 Mixed element 방법에 대한 사후 오차 추정방법을 연구한다. Raviar-Thomas 공간에 대한 사후 오차 추정방법으로 속도 압력오차에 대한 지역적으로 아래로 유계하고, 전체적으로 위로부터 유계한 오차 추정방법을 얻는다. 이방법은 Raviart-Thomas 공간의 내부 경계에서 수직성분의 연속성 제한을 제거한 부접합 공간에서 구한 근사해의 초수렴적 성질로 부터 계산할 수 있다.
