In this thesis we construct and analyze two kinds of mixed finite volume methods on general quadrilateral grids in which finite volume methodology is applied to the mixed formulation of a second-order elliptic problem.
The first one is the mixed covolume method in which two staggered grids are utilized to define the control volumes around the unknowns of variables. It was designed by Russell who called it control-volume mixed finite element method and tested it for various problems on rectangular and quadrilateral grids. he first rigorous error analysis was provided by Chou and Kwak who reformulated it as their mixed covolume method and applied the covolume methodology. However, their treatment was restricted to rectangular grids, and a different approach should be taken to create the locally supported test functions for quadrilateral grids. The approach proposed here is based on the idea of mapping the unit coordinate vectors (which are natural test functions) on the reference element under the Piola transformation. With these new test functions the covolume methodology above can be applied again to establish optimal error estimates for the new mixed covolume method. It will be also shown that Russell`s scheme is a variant of this new method with a proper use of quadrature rules, and hence our analysis covers Russell`s quadrilateral case as well.
We also apply the mixed covolume method to quasi-linear second-order elliptic problems. For error analysis we follow the argument by Milner who considered the mixed finite element method for the same problem. In doing so, we need to adapt the duality argument of Douglas and Roberts to the mixed covolume method.
The second kind of mixed finite volume method analyzed in this thesis is the finite volume box method introduced by Courbet and Croisille who applied the idea of Keller`s box scheme to Poisson`s equation on triangular grids.
We extend their method to general tensor coefficients and quadrilateral grids by generating new test functions with the help of the gradient operator.
It will be shown that this new method can be reduced to a nonconforming finite element method for the scalar only, along with a simple local recovery of flux.
Numerical results are presented for a variety of problems which confirm the effectiveness of the method.
본 논문의 목적은 이계 타원 문제에 대하여 두 종류의 새로운 혼합 유한체적법을 사각 격자 위에서 제안하고 분석하는 것이다. 혼합 유한체적법이란 유한체적의 방법을 이계 타원 문제의 혼합식에 여러 가지 방법으로 적용하는 것을 의미한다.
첫번째 방법은, 공액영역을 정의하는데 두 개의 엇갈린 격자를 이용하는 혼합 공액체적법이다. 이 방법은 Russell에 의해서 처음으로 도입되었는데, 그는 직사각 및 일반 사각 격자 위에서 다양한 문제들에 대하여 이 방법을 실험해 보았다. 그 후, Chou와 Kwak이 위의 방법을 Galerkin방법의 체계내에서 재해석함으로써 처음으로 이론적인 최적 오차 결과를 얻었다. 그러나 그들의 결과는 계수가 다각 행렬이고 격자가 직사각형으로 이루어진 경우로 한정되었다. 보다 일반적인 경우를 다루기 위해서는 시험 함수들에 대하여 새로운 접근 방법이 필요했다. 본 논문에서 제안하는 방법은 Piola 변환을 이용하여 참조 원소에서의 시험 함수들을 변환하는 개념에 바탕을 두었는데, 이렇게 함으로써 위의 Chou와 Kwak이 행한 방법론을 그대로 이용하여 일반적인 경우에도 이론적인 오차 해석을 할 수가 있었다.
또한 Russell이 처음 제안한 방법은 우리의 방법에 적당한 수치 적분을 적용하면 얻어진다는 것을 보였으며, 따라서 본 논문에서 얻은 결과들은 Russell의 방법에서도 그대로 성립한다.
또한 위의 혼합 공액체적법을 준선형 이계 타원 문제에도 적용하고 분석하였다.
혼합 유한요소법에서 쓰였던 Douglas와 Roberts의 duality 방법을 혼합 공액체적법에도 적용함으로써 이론적인 오차 해석을 행하였는데, 특히 같은 문제에 대하여 혼합 유한요소법을 분석한 Milner의 해석 방법을 이용하였다.
본 논문에서 분석한 두번째 혼합 유한체적법은 유한체적 상자 방법이다. 이 방법은 원래 Courbet와 Croisille가 삼각 격자 위에서 고안해 낸 것인데, 본 논문에서는 이를 일반 사각 격자로 새롭게 확장하였다. 유한체적 상자 방법은 한 개의 격자만을 사용하기 때문에, 엇갈린 격자라든가 겹치는 공액영역 등의 문제가 없다. 그러나, 이로 인해 미지수의 갯수와 방정식의 갯수를 일치시키는데 어려움이 따른다. 본 논문에서는 사각 격자 위에서의 시험 함수를 새롭게 도입함으로써 이 문제를 해결하였다. 특히, 스칼라 변수에 대한 부접합 유한요소법으로의 변환, 간단한 후처리과정에 의한 벡터 근사 등 원래 유한체적 상자 방법이 지닌 장점들이 새로운 방법에도 그대로 성립함을 보였다. 또한 얻어진 이론적인 결과들은 다양한 문제에 대한 수치 실험을 통해서 확인하였다.
