The finite element method, one of the widely used numerical methods for solving certain types of differential equations, is based on approximating the solution by piecewise smooth functions, specifically polynomials. In the method, the problem domain is divided into small elements, and a polynomial basis function is specified in each element. Thus polynomial basis functions are local in character, and well suited for handling complex geometries.
In general, there are two kinds of finite element method: the h--version and the A-version. In the h-version, polynomial basis functions are fixed over each element and accuracy is achieved by refining the mesh size h. In the p-version, the mesh is fixed and accuracy is achieved by increasing the degree p of polynomial basis functions.
Based on the hierarchical structure of the basis functions, two types of the A-version of the finite element code are developed for solving the two-dimensional neutron diffusion equations. One is the conventional p--type FEM(pFEM1), and the reactor domain is discretized into finite elements, and each element matrices are assembled and solved. In the other, with the domain decomposition approach, the reactor domain is decomposed into subdomains and each subdomain is solved independently. They are coupled by use of incoming and outgoing partial currents along the interfaces, which are obtained analytically from fluxes.
The codes use power method in outer iterations and two acceleration schemes are implemented. For pFEM1, Chebyshev one parameter acceleration scheme is used to reduce computing times. For pFEM2, coarse group rebalance method (CGR) is used, since in pFEM2 each subdomain is solved independently in the whole reactor domain and balance equation in the subdomain can be constructed. Since domain decomposition is used in pFEM2 code, the computations are implemented on parallel computers. Based on the multi -p V cycle method, multilevel acceleration is implemented into both of the methods.
The methods were tested on the IAEA-2D benchmark problem, the initial core of Ulchin Unit 1 for a real reactor problem, and a MOX-fuel loaded core for multigroup cases. It turns out that the methods can generate accurate core multiplication factor and assembly average quantities.
유한요소법은 널리 이용되고 있는 수치해석기법중의 하나로서, 형상함수라고 불리우는 다항식으로 미분방정식의 해를 근사한다. 이 방법에서는 문제영역(problem domain)을 여러개의 요소(element)로 나누고, 각각의 요소내에서만 정의되는 형상함수를 만든다. 이렇듯 형상함수가 지역성(local character)을 가지고 있기 때문에 유한요소법은 복잡한 구조에서 적용이 용이하다.
일반적으로 유한요소법에는 p-version과 h-version의 두 종류가 있다. 저차의 고정된 형상함수를 이용하는 h-version 유한요소법에서는 정확도를 향상시키기 위해서 형상함수의 차수를 고정시키고 단위 요소의 길이를 줄인다. 반면에 p-version 유한요소법에서는 요소를 고정시키는 대신, 고차의 형상함수를 추가시킴으로서 원하는 정확도를 얻는다.
원자로노심해석을 위한 이차원의 중성자 확산방정식을 푸는 두 종류의 p-version 유한요소 코드를 계층구조(hierarchical structure)에 기반하여 개발하였다. 첫번째는 일반적인 p-version 유한요소 코드(pFEM1)로서, 나뉘어진 부영역(subdomain) 행렬들을 다시 하나로 합산, 전체 영역의 행렬을 만들어서 문제를 푼다. 두번째 코드의 경우 영역분할(domain decomposition)을 이용하는데(pFEM2), 각각의 부영역들을 따로따로 해석하여 해를 구한다. 이렇게 나누어져 구해진 해들은 경계면에서의 방향 중성자류(partial currents)를 이용하여 서로 간섭된다.
이 코드들은 외부 반복법으로 누승법(power method)을 사용하며, 몇몇 가속기법이 적용되었다. pFEM1 코드에서는 가속기법으로 Chebyshev외삽법이 이용되었다. pFEM2에서는 부영역을 각각 해석하여 구하는 특성에 따라 군재균형법(Coarse Group Rebalance, CGR)과 병렬 알고리즘이 가속기법으로 사용되었다. Multilevel 가속기법은 두 코드에 공통으로 사용되었다.
코드의 검증을 위하여 IAEA-2D 벤치마크, 실제 노심인 울진 초기노심, 다군 문제 검증을 위한 플루토늄 혼합핵연료 노심이 해석되었다. 계산결과 정확한 노심증배계수와 집합체 평균 중성자속을 구할 수 있었다.
