In this thesis we mainly focus on the generation of class fields
over an imaginary quadratic field by singular values of some
elliptic modular functions. In particular, as is well-known in the
class field theory, the ray class fields over an algebraic number
field $K$ correspond to specific congruence subgroups $P_{K,1}$,
which are the most extreme cases. In the imaginary quadratic
cases, we discovered that these groups $P_{K,1}$ are concerned
with the structure of the congruence subgroups $\Gamma_{1}(N)$ of
the full modular group $SL_{2}(\mathbb Z)$ and singular value(s)
of the generator(s) of the modular function field $K(X_{1}(N))$.
\par When the genus of the modular curve $X_{1}(N)$ is zero, i.e.
$1\leq N \leq 10$ or $N=12$, $K(X_{1}(N))$ is a rational function
field over $\mathbb C$. In these cases, we can generate the ray
class field $K_{(N)}$ (resp. $K_{\mathfrak f}$) with modulus $N$
(resp. an ideal $\mathfrak f$ strictly dividing $N$) by one
singular value of the generator which generates $K(X_{1}(N))$.
However, when the genus of $X_{1}(N)$ is equal to or greater than
one, there is certain universal generation of the modular function
field $K(X_{1}(N))$, which is generated by two modular functions
over $\mathbb C$. In these cases, we can generate ray class fields
$K_{\mathfrak f}$ universally by making use of this result.
본 학위논문에서는 보형함수의 특이값을 이용한 복소이차체상의 유체를
구성하는 문제를 연구한다. 1900년 Paris ICM에서
D.Hilbert가 제시하였던 23문제 중 12번째 문제가 ``임의의 대수체의
초월함수의 특이값에 의한 유체의 구성"이다. 본문제의 해결을 위해서
우선, Shimura의 방법을 이용하여 Hecke Type과 Gamma-1 Type의
보형곡선의 종수가 0인 경우에 한하여 복소이차체위의 유체를
구성한다. 한편 Gamma-1 Type중 $N=12$일때 Chen-Yui의 방법으로
`Hilbert 의미`에서 복소이차체위의 放射類體(ray class field)와
環類體(ring class field)를 단일생성자로 구현할 수 있다. 또한,
Gamma-1 Type의 보형곡선의 종수가 1이상일 때는 Gamma-1 Type의
보형함수체가 두개의 생성자로 이루어진다는 Ishii-Ishida의 결과를
이용하여 복소이차체위의 방사유체를 두개의 생성자로 구현할 수 있다.
이 구현에서 중요한 점은, Ishii-Ishida가 제안한 생성자가 이루는
대수곡선 $F_{N}$은 특이점해소(resolution of singularities)가
이루어지지 않은 아핀형태의 곡선이므로 일반적으로 생성자들의
특이값이 구성하는 곡선위의 점이 비특이점(nonsingular point)임을
보장하지 못한다. 이 점들이 비특이점임을 가정해야만 $N\geq 7$인
모든 자연수에 대하여 두개의 생성자로 복소이차체위의 방사유체를
구현할 수 있는 것이다. 특이점해소가 이루어진 곡선의 함수체의
생성자의 개수는 원래의 것보다 늘어나므로 유체의 생성자의 개수를
줄이려는 시도를 주안점으로 놓은 본 논문의 입장으로는 바람직하지
못하다고 할 수 있다. Ishii-Ishida가 제안한 대수곡선 $F_{N}$이
어떠한 조건에서 비특이인지, 특이곡선일 때는 어떠한 종류의 특이점을
갖는지는 아직 미해결 문제로 남아있다.
