Let M be a compact, connencted, orientable, hyperbolic 3-manifold with a toral boundary component. First, we find the maximal distance between $P^2 -reducing$ and toroidal Dehn fillings. Then we give a very short proof of the result obtained independently by Oh and Wu. Finally we investigate the situations that one filling creates a reducing sphere, and the other creates an essential small surfaces such as a sphere, torus or annulus.
컴팩트하고 연결되 있고 방향성 있는 쌍곡 다양체 M이 토러스를 하나의 경계 성분으로 가지고 있다고 하자. M의 이 토러스 경계에 덴 채움을 시행하면 새로운 다양체를 얻게 되는데 이 다양체의 위상적 변화를 측정하는 것이 본논문의 연구주제이다.
M의 이 토러스경계 위에 있는 단순폐곡선의 동위류를 기울기라 부른다. 기울기가 다른 두 단순폐곡선간의 최소만남수를 두 동위류간의 거리로 정의한다. 이는 엄밀한 의미에서 수학적 거리 개념과 다르지만, 두 동위류가 얼마나 다른가를 측청하는 도구로서 도입되었다. 한편, M의 이 토러스경계 위에 있는 한 단순폐곡선 동위류를 γ라 할 때 M(γ)는 채워진 토러스의 가로원판의 경계가 γ를 나타내도록, M과 채워진 토러스의 두 경계를 동일화하여 얻은 다양체로서 γ-덴 채움된 다양체라 부른다.
1장에서는 덴 채움의 역사와 정의, 소곡면의 정의, 이 분야의 연구 동향에 대해 소개한다
2장에서는 M(α)와 M(β)가 각각 사영곡면과 본질 토러스를 포함하는 다양체일 때 α와 β의 거리가 특수한 경우를 제외하고 2 이하임을 밝힌다.
M(α)와 M(β)가 각각 본질 구면과 본질 토러스를 포함하는 다양체일 때 α와 β의 거리가 3 이하임은 오(Oh)와 우(Wu)가 서로 독립적으로 얻은 결과이다. 3장에서는 이에 대해서 매우 간단한 증명을 제시한다.
M(α)와 M(β)가 각각 본질 구면과 본질 소곡면 즉, 구면, 토러스 또는 원환을 포함하는 다양체일 때 α와 β 사이의 거리 상한은 1, 3 또는 2로서 여러 수학자들의 노력에 의해 알려진 사실들이다. 4장에서는 이 결과들을 한가지 알고리듬으로 설명할 수 있는 방법을 제시하고 더 나아가 본질 구면 대 본질 토러스 사이에서 야기되는 두 기울기의 거리가 3인 경우는 특수한 경우임을 밝힌다.
