In this paper, we consider the Navier-Stokes equations for isentropic compressible flow of a polytropic gas. The equations to be considered are obtained by scaling to dimensionless form, and then replacing the density $\rho$ by $\bar{\rho}$+$\varepsilon^{2\rho}$, where ε is Mach number and $\bar{\rho}$ is the average density. The existence of solutions of nonstationary flow has been known for the cases of small initial data and small forces near rest state. The global (in time) existence for large given data has been known for the 2 dimensional periodic domain without external force term when the initial data are near stationary incompressible flow and the Mach number is small. On the otherhand, the existence of solutions of stationary flow has been known only for the cases of small forces or large potential forces near rest state. In this paper, we proved the existence of solutions of isentropic compressible Navier-Stokes equations for large given data when the Mach number is small. Firstly, we showed the local (in time) existence of solutions of slightly compressible Navier-Stokes equations for large external forces in n dimensional periodic domain, n≥2, when the initial data are near stationary incompressible flow and the Mach number is small. Secondly, we showed the global(in time) existence of solutions of slightly compressible Navier-Stokes equations for large external forces in 2 dimensional periodic domain when the initial data are near stationary incompressible flow and the Mach number is small. Thirdly, we showed the existence of solutions of stationary compressible Navier-Stokes equations for isentropic flow for the cases of large external forces with Dirichlet boundary data when the Mach number is small. Finally, we showed the existence of solutions of stationary compressible Navier-Stokes equations for isentropic flow for the cases of large external forces in an exterior domain when the Mach number is small.
나비어 스톡스 방정식은 유체의 흐름을 수학적인 식으로 표현한 것으로서 대표적인 비선형 방정식이다. 이 식에는 세 가지 물리량 보존 법칙, 즉, 질량 보존 법칙, 운동량 보존 법칙 그리고 에너지 보존법칙이 내재 되어 었다. 따라서 나비어 스톡스 방정식을 푸는데는 수학적 및 물리적인 이해를 모두 필요로 한다. 이제까지 많은 수학자들이 나비어 스톡스 방정식올 연구해 옴으로서 유체역학의 수학적 해석에 많은 기여를 해왔다. 특히 나비어 스톡스 방정식의 비선형성은 해의 존재를 증명하는 과정에서 수학적언 이론을 많이 요구하며 결과적으로 해석학의 발전에도 중대한 영향을 미쳐왔다. 압축성 나비어 스톡스 방정식과 Boussinesque 방정식은 비선형성이 매우 강해서 해의 존재성, 정칙성 및 안정성에 대해 이제까지 부분적인 결과만이 알려진 상태이다. 반면 비압축성 나비어 스톡스 방정식은 상대적으로 비선형성이 덜해서 해의 존재성, 정칙성 및 안정성에 대해 이제까지 많은 연구가 되어 온 상태이다. 그러나 비압축성 유통의 경우도 유일성의 문제는 남아 있는 큰 과제이다. 본인은 박사학위 논문 연구로서 정상상태 비전도 압축성 나비어 스톡스방정식의 해의 존재를 일반적인 외부힘이 주어져도 찾을 수 있다는 것을 제한된 상황 하에서 밝힌 바 있다. 좀 더 상세히 말하자면 아무리 큰 힘이 주어지더라도 상당히 작은 마하수(Mach number) 하에서는 비압축성 흐름에 매우 가까운 압축성 나비어 스톡스 방정식의 해를 찾을 수 있다는 것을 보였다. 본인은 또한, 비정상상태 비전도 압축성 나비어 스톡스 방정식의 해의 존재성을 외부힘이 큰 경우라도 초기치가 거의 정상상태 비압축성흐름에 가깝고 마하수가 충분히 작은 경우에는 모든 시간동안 존재하는 강해가 있음을 보였다.
