In this thesis, we study embeddings of planar graphs, especially $θ_m$-curves, with emphasis on their projections and polynomial invariants. The following are main results of this thesis.
1. We find a minimal set of non-trivial $θ_m$-curves which produces all projections of non-trivial $θ_m$-curves.
2. We find all strongly almost trivial projections of θ-curves and give a presentation for strongly almost trivial θ-curves. Also we conjecture that the answer to the Kinoshita's question, "Does there exist an almost trivial θ-curve which is not strongly almost trivial?", is "yes".
3. By extending the ideas of the above two results, we prove that there exist infinitely many planar graphs which have no strongly almost trivial embedding. This gives an answer to a modified version of Kinoshita's question.
4. The reduced Yamada polynomial, $\tilde{R}_A$, is a polynomial invariant of variable A for θ-curve. We show that the coefficients of $\tilde{R}_{e^x}$, which is obtained by changing A by $e^x$=$\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}\frac{x^i}{i!}$ are finite-type invariants for θ-curves although the coefficients of original $\tilde{R}_{e^x}$ are not finite-type. We also show that the same result can be obtained in the case of Yokota's polynomial for θ-curves.
본 논문에서는 공간 그래프, 특히 $θ_m$-곡선들의 사영과 다항식 불변량에 대해 연구하였다. 다음은 그 주요 결과들이다.
1. 자명하지 않은 $θ_m$-곡선들의 모든 사영들을 발생시키는, 자명하지 않은 $θ_m$-곡선의 유한집합을 찾아내고 그 집합의 최소성을 증명하였다.
2. 모든 $SAT^1$ $θ_m$-곡선들을 찾아내고 그 표현법을 제시하였다. 또 이를 바탕으로 "AT 이지만 SAT가 아닌 θ-곡선이 존재하는가?" 라는 Kinoshita의 문제에 대한 예측을 제시하였다.
3. 위의 두 결과들을 위해 사용된 방법들을 확장시켜 SAT 넣기 사상을 가지지 않는 평면 그래프가 무한히 많음을 증명하고 수정된 Kinoshita 문제에 대한 답을 얻어내었다.
4. θ-곡선의 다항식 불변량인 Yamada 불변량의 계수들은 그 자체로는유한성 불변량이 아니지만 다항식의 변수 t를 t=$\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}\frac{x^i}{i!}$로 치환했을때의 계수들은 유한성 불변량이며, 또다른 다항식 불변량인 Yokota 다항식에 대해서도 같은 결과를 얻을수 있음을 증명하였다.
