This work is concerned with lecture hall partitions which were first introduced by Bousquest-Melou and Eriksson. They found that the generating function for lecture hall partitions of length n is $\prod_{i=0}^{n-1}\frac{1}{1-q^{2i+1}}$
This implies that the number of lecture hall partitions of length n whose parts sum to N is equal to the number of integer partitions of N with odd parts less than 2n. To explain this, we construct a combinatorial bijection between the set of all lecture hall partitions of length n and the set of all integer partitions with odd parts less than 2n. When n tends to infinity, the set of all lecture hall partitions of length n becomes the set of all integer partitions with distinct parts. Sylvester combinatorially showed that the number of integer partitions of N with distinct partsequals the number of integer partitions of N with odd parts; which yields Euler’s identity. Our bijection between the set of lecture hall partitions of length n and the set of integer partitions with odd parts less than 2n is stable and coincides with Sylvester’s map as n approaches infinity.In addition, we consider a refined lecture hall theorem. We consturct a new bijection from the set of all lecture hall partitions of length n onto the set of all integer partitions with distinct parts between 1 and n, and many parts between n+1 and 2n. This bijection becomes identity map if the domain is restricted to the set of lecture hall partitions of length n with distinct parts less than or equal to n.
본 논문에서는 lecture hall partitions 에 대해 연구하였다. lecture hall partitions은 Bousquet-Melou 와 Eriksson에 의해서 처음 소개되었다. 그들은 길이가 n인 lecture hall partitions의 생성함수가 다음과 같다는 것을 찾아 내었다.
$\prod_{i=0}^{n-1}\frac{1}{1-q^{2i+1}}$
이것은 2n보다 작은 홀수를 part들로 갖는 자연수 분할들의 생성함수로써 이미 잘 알려져 있다. 그러므로, part들의 합이 N이 되는 길이가 n인 lecture hall partitions의 개수와 2n보다 작은 홀수 part들을 갖는 자연수 N의 분할들의 개수가 같다는 것을 알 수 있다. 우리는 이 사실을 조합론적으로 보이기 위해 그들 사이의 일대일 대응을 찾았다. 한편, n에 극한을 취하면, 길이가 n인 lecture hall partitions은 서로 다른 part들을 갖는 자연수 분할들이 된다. 서로 다른 part들을 갖는 자연수 분할들과 홀수 part들을 갖는 자연수 분할들 사이의 관계는 Sylvester에 의해서 이미 보여졌다. 따라서, 우리가 찾아낸 일대일 대응에 대하여 극한을 생각하여 보고, 이것이 Sylvester의 일대일 대응과 일치함을 보이겠다. 또한, lecture hall theorem의 세분화된 형태도 알려져있다. 이것을 증명하기 위해서, n인 lecture hall partitions과 n보다 작거나 갈은 서로 다른 part들과 n+1과 2n 사이의 수를 part들로 갖는자연수 분할들 사이의 일대일 대응을 찾았다. 정의역을 n보다 작거나 같은 서로 다른 part들을 갖는 길이가 n인 lecture hall partitions의 집합으로 제한하면, 이 대응은 항등함수가 된다.
