In this thesis when the bivariate censored data are given, it is considered an estimation of survival function and its applications - estimation of the treatment effect between two groups and testing problem of bivariate symmetry.
There have been many literatures for analysis of bivariate censored data. For independent two-sample problems, it is analyzed separately by means of well understood univariate techniques. However, analysis of each marginal distribution ignores valuable information about the inter-relationships among two groups, and indeed can even lead to paradoxical results. Motivated by these facts, for dependent bivariate censored data, it is considered the problems of estimation of bivariate survival function, treatment effect and testing problem of bivariate symmetry, which are all important in engineering and biomedical science.
For univariate censored data, the estimation problem of survival function has been studied by using well known Kaplan and Meier (1958) estimator. It can be easily applicable to the independent bivariate censored data. However, the survival function estimators, which have been considered for dependent bivariate censored samples, are complicated and most of these do not satisfy monotone property. In chapter 3, new estimators are considered under three kind of censoring schemes using adoption of Burke (1988)'s idea. The first censoring scheme is that one component can be completely observable. The second one is that two survival time can be censored by one censoring time - univariate censoring - which can be occurred very often when the study periods are ended but the patients or units are still alive. The third one is a bivariate censoring which is a direct generalization of one-sample cases. The asymptotic normalities of proposed estimators are shown and the asymptotic covariances are computed.
Survival function estimators can be used for the estimation of treatment effect. Under the location-shift model assumption, location-shift parameter can be viewed as a treatment effect between placebo group and treatment group. The proposed estimators in chapter 4 are a generalized version of Park and Park (1995)'s one, which utilizes the concept of averaging several quantile estimators. Under the univariate censoring, marginal distribution functions are estimated by Kaplan and Meier's and Lin and Ying (1993)'s one. Under the bivariate censoring, marginal distribution functions are estimated using Kaplan-Meier's estimators. Informations of inter-relationships are reflected in covariance. The strong consistency and asymptotic normality of the proposed estimators are discussed, and a series of simulation studies are performed.
In chapter 5, a test statistic for bivariate symmetry is discussed. Bivariate symmetry implies that two groups are homogeneous. Risk sets used for independent logrank test are modified for reflecting dependence information. The asymptotic properties of proposed test statistic are discussed and illustrated example is given.
본 논문에서는 이변량 생존 자료를 이용하여 생존함수의 추정과 그 응용으로서 두 집단간 처리효과의 추정과 이변량 대칭성의 검정 문제를 다루고 있다.
독립인 이변량 자료에 대해서는 일변량 자료의 분석 기법의 확장을 이용하여 연구가 가능하다. 그렇지만, 그룹별로 분석을 하는 것은 두 그룹사이의 연관성에 관한 정보를 무시하여, 원치않는 결과를 도출할 수도 있다. 따라서, 이변량 중도절단 자료의 분석은 연관 정보의 활용면이나 실제 분석면에서 매우 중요한 분야로 인식되고 있다.
생존함수의 추정 문제는 자료의 구조를 파악한다는 의미에서 매우 중요한 주제이다. 일변량 중도절단 자료의 생존함수 추정문제는 Kaplan-Meier가 제안한 추정량을 이용하여 대부분의 분석이 이루어져 왔다. 독립적인 두집단의 분석시에도, 일변량의 분석기법의 적용을 통한 연구가 활발하였다. 관측된 두집단이 서로 종속적이라도 중도절단이 일어나지 않는 자료에 대해서는, 일변량 분석기법의 확장을 통한 연구가 진행되었다. 그러나, 중도절단이 있는 종속 이변량 자료의 생존함수 추정량은 형태가 매우 복잡하고 또한 단조성을 확보하지 못한 경우도 많았다. Burke (1988)가 제시한 기본적인 형태를 이용하여 3장에서는 여러가지 종류의 임의 중도절단하에서 새로운 추정량을 제시하고자 한다. 처음 다루고자 한 임의중도절단의 형태는 한 그룹만 중도절단을 경험하는 경우로 상정하였다. 두번째 임의 중도절단의 형태는 일변량 중도절단 (univariate censoring)으로, 연구가 종료되었으나 변량의 관측이 아직 끝나지 않은 경우에 많이 생기는 형태이다. 마지막으로, 일변량 중도절단 자료의 확장 개념으로 이변량 중도절단 (bivariate censoring) 문제를 다루고자 한다. 제안된 추정량들의 점근적 정규성 (asymptotic normality)와 점근 공분산을 제시하였다.
추정된 생존함수는 두 집단간의 처리효과의 추정 문제에 응용될 수 있다. 위치 이동 모수 모델 (location-shift model) 하에서 위약 그룹 (placebo group)과 처리 그룹 (treatment group)간의 처리효과 차이는 위치 이동 모수로 볼 수 있다. 4장에서 제안된 방법은 Park and Park (1995)이 제안한 독립표본에 대한 추정량의 종속 표본으로의 확장으로 볼 수 있다. 일변량 중도절단하에서는 두 그룹의 주변분포 추정량인 Kaplan - Meier 추정량과 일변량 중도절단 하에서 제시된 Lin and Ying (1993)의 생존함수 추정량을 사용하였다. 이변량 중도절단하에서는 제안된 이변량 생존함수의 주변분포인 Kaplan-Meier의 생존함수를 이용하여, 독립표본의 직접적인 확장을 시도하였다. 두 그룹사이의 연관 정보는 점근적 공분산에 반영이 되었다. 제안된 추정량들의 강일치성 (strong consistency)와 점근적 정규성을 제시하고, 모의실험을 통해 기존의 방법과의 차이점을 논하였다.
5장에서는 이변량 대칭성 (bivariate symmetry)의 문제를 다루었다. 이변량 대칭성은 환자를 임의 그룹으로 재배치하여도 결과는 영향을 받지않는다는 점을 검정하는 문제이다. 따라서, 이변량 대칭성은 위약그룹과 처리그룹이 같은 분포를 가지고 있음을 함의한다. 기존의 로그순위검정법 (logrank test)의 위험집합 (risk set)을 재정의함으로써, 자료의 차원변화없이 종속 정보를 반영하는 방법을 택하였다. 제안된 통계량의 점근적 성질을 보이고 실제 자료에 적용을 하였다.
