New measures, linear mode complexity(LMC) and divergence in perpendicular recurrence plot(DPRP), which can roughly reflect the main quantities such as the fractional dimension and the largest Lyapunov exponent respectively, are proposed to consider dynamical characteristics of attractor reconstructed from very short time series. These methods are tested with various time series, generated from Lorenz, Roessler and Henon systems. Also their performances are compared with other well-known methods, proper to long chaotic time series. Finally they are applied to a nonstationary simulated signal and an experimental biological signal. Their superiority over other methods requiring tens of thousands of data points in nonlinear dynamics lies in extracting the variations of the fractional dimension and the Lyapunov exponent of phase portrait from a few hundred data points, typically available for biological and other natural systems.
비선형계의 시계열로부터 계의 동역학적 특징을 추출함으로써 시계열을 발생시킨 계를 좀 더 이해할 수 있다. 일정한 시간 간격으로 샘플링 된 시계열로부터 계의 동역학 특징을 추출하기 위해서는 시간 지연축으로 구성된 위상공간을 먼저 구현하고 위상 공간 궤적의 불변하는 고유 특징(invairants)을 의미하는 변수들, 즉 상관 차원, 발산 지수, 엔트로피 등을 수치적으로 계산한다. 계산된 변수들로부터 결정성, 비선형성, 저차원, 발산성 여부와 같은 계의 동역학 특징들을 파악할 수 있다. 시계열로부터 이러한 상관 차원 또는 발산 지수를 계산하는 방법으로 제안된 기존의 알고리즘들은 두 가지 제한점을 지니고 있다. 첫째, 시계열의 샘플링 개수에 대한 의존성이 커서, 샘플링 개수가 충분히 많도록 오랜 시간 측정해야만 정확한 값을 얻을 수 있다. 두번째 제한점은 분석에 사용할 시계열은 stationary해야 한다.
이러한 제한점들은 실험에서 측정한 시계열 신호의 경우 상당히 큰 문제점들을 야기한다. 특히 생체 신호의 경우, 오랜 시간 동안 동역학적으로 stationary한 상태를 유지시키면서 신호를 측정하기는 매우 힘들다. 또한 생체 신호의 경우 계속적으로 변하는 계의 동역학적 상태를 빠르게 분석할 수 있어야만 한다. 따라서 실험에서 측정한 신호에 대해 비선형 동역학 분석을 하기 위해서는 비선형 동역학 특성을 반영하면서 동시에 소량의 시계열로부터 빨리 추출할 수 있는 새로운 분석 변수의 개발이 요구된다. 본 연구에서는 이러한 요구를 만족하는 새로운 두 개의 변수 - Linear Mode Complexity(LMC)와 Divergence in Perpendicular Recurrence Plot(DPRP) - 를 개발하였다. 이 변수들은 상관 차원, 발산지수가 줄 수 있는 정보들을 제공하는 데, LMC는 상관차원의 경향을 반영하고 DVRP는 발산지수의 경향을 반영한다. 대표적인 비선형계인 로렌쯔계, 뢰슬러계, 헤논계와 무작위계에서 발생시킨 모의 시계열에 대해 본 변수들을 적용한 후 기존의 방법들과 비교해 봄으로써 적합성을 확인하였다. 또한 생체 신호에 직접 적용하여 계의 동역학적 특성 변화를 추출함으로써 생체 신호 분석에 본 변수들이 유용함을 보였다.
