In this thesis, we are working the rigidity problems in comparison geometry, in particular "metric geometry" of manifolds with curvature bounds. e.g., manifolds with sectional, Ricci or flag curvature bounded below or above. We are also interested in determining the metric structure of manifolds with curvature bounds. For the sake of convenience we organize the thesis as follows.
In chapter 1, we introduce the metric geometry. We also consider the historical remarks on Alexandrov and Finsler manifolds. In chapter 2, on an Alexandrov space with curvature bound, we prove that a curvature takes the extreme value over some specially constructed surfaces if and only if each of the surfaces is totally geodesic and locally isometric to a surface with constant curvature.
In chapter 3, we discuss volume on Finsler manifolds and tangent bundles. In chapter 4, we consider the compact perturbation on Finsler manifolds. For a Euclidean space or a Minkowski space, we change the metric in a compact subset and show that the resulting Finsler manifold is isometric to the original standard space under certain conditions. We assume that the mean tangent curvature vanishes and the metric satisfies some curvature conditions or have no conjugate points.
본 논문에서는 단면 곡률, 리치 곡률, 깃발 곡률이 위로나 혹은 아래로 유계인 다양체의 거리 기하학인 비교 기하학에서의 정측성 문제들을 다루고자 한다. 곡률이 유계인 다양체의 거리 구조에 또한 생각해 보았다. 본 논문은 다음과 같이 구상되었다.
제 1장에서는 거리 기하학을 언급하며, 알렉산드로프 공간과 핀슬러 공간의 역사적인 내용을 생각한다. 제 2장에서는 곡률이 유계인 알렉산드로프 공간에서 특별하게 만들어진 곡면위에서 곡률이 극치를 갖게될 필요충분조건이 완전 측도이면서 곡률이 극치인 공간과 같음을 보인다.
제 3장에서는 핀슬러 다양체와 접다발에 부피에 대해 알아보고, 제 4장에서는 핀슬러 다양체에서 밀접한 동요에 대해 생각한다. 유클리드나 민코우스키 공간에서 밀접한 부분공간에서 거리를 바꾸며, 어떤 조건하에서 원래 공간과 같게 되는가 찾는다. 평균접곡률이 없고 적당한 곡률 조건 혹은 켈레점이 없는 경우에 대해 생각한다.
