In this thesis we mainly focus on two subjects: The first is the generation of class fields over an imaginary quadratic fields by special values of modular function with the monster simple group.
Based on Hilbert's 12th problem, that is, the construction of class fields by transcendental method, we will find the modular function $j_{1,8}$ which gives rise to a field generator of function field over the modular curve $X_1(8)$ of genus 0, and with this function we will generate various class fields over an imaginary quadratic field.
On the other hand, the "moonshine conjecture" was proposed by Conway-Norton in 1979 and solved by Borcherds in 1992, which suggests a mysterious relationship of modular functions with finite simple groups and infinite dimensional Lie algebras. As a first step to find out this connection, we will derive recursion formulas satisfied by the Fourier coefficients of the normalized generator $N(j_{1,N})$.
본 학위논문에서는 모듈러 함수의 산술성을 이용하여 다음 두 가지 문제를 다루었다. 첫째는 모듈러 함수의 특수값을 이용한 허이차체상의 유체를 구성하는 문제와 둘째로는 모듈러 함수와 monster 단순군과의 신비한 관련성에 관한 문제이다.
1900년 파리 ICM에서 Hilbert가 후대 수학자들을 위해 제시했던 23문제 중 12번째가 "초월적인 방법을 이용한 유체의 구성"이다. 이 문제에 입각하여 본 논문에서는 종수가 0인 모듈러 곡선 $X_1(8)$의 초월생성자 $j_{1,8}$을 찾아 내어, 이 함수의 특수값을 이용하여 허이차체상의 여러 가지 유체를 구성하였다.
한편 "달빛예측"이 1979년 Conway와 Norton에 의해서 제기되고 1992년 Borcherds에 의해 해결되면서 모듈러 함수들이 유한 단순군, 무한차원 리대수 등과 신비한 관련성을 가짐이 드러났다. 본 논문에서는 이 관계를 규명하기 위한 첫 단계로서 모듈러 함수 $N(j_{1,N})$의 퓨리어 계수들이 만족하는 점화식을 구하여 기존의 결과들이 일반화될 수 있는 가능성을 제시하였다.
