In this paper, for two arbitrary nonnegative sequences $\alpha=(a_1, a_2, a_3, …)$ and $\beta=(b_1, b_2, b_3,…)$ with $a_i \leg b_i$ (i=1, 2, 3, …), we define the sets of (m, n)-stairway partition $S_\alpha^\beta$, (m, n)-difference partition $D_\alpha^\beta$ and its restricted partitions. Specially, we are interested in $D_m$, $S_m$, $D^n$ and $S^n$. We give a combinatorial bijection φ to prove that the partitions of n in $D_\alpha^\beta$ are equinumerous with the partitions of n in $S_\alpha^\beta$. In addition, we can know that the alternating sum $|λ|_a$ of λ is equal to o(φ(λ)) in φ(λ) by the definition of $\phi$ where $|\lambda|_a$ stands for the alternating sum of λ, i.e. $|\lambda|_a=\sum_{i=1}^n(-1)^{i+1}\lambda_i$ and o(λ) the number of odd parts in λ. Thus we can get the following result
\begin{displaymath}
\sum_{\lambda\in D_\palpha^\beta}
q^{|\lambda|{x^}|\lambda|_a} =
\sum_{\lambda\in s_\alpha^\beta}
q^{|\lambda|{x^}{o\lambda)}
\end{displaymath}
Afterward, using techniques in partition theory [1], we get the generating functions for $D_m$ and $S_m$. Then we obtain a new generalized identity related to Rogers-Ramanujan identity. We get the generating functions for $S^,n$, $S_m^n$ to obtain the generating functions for $D^n$, $D_m^n$. In addition, we get the generating functions for $D_\alpha^\beta$ and $S_\alpha^\beta$ which generalize above generating functions.
After defining $\widetilde D_\alpha^\beta$ and $\widetilde S_\alpha^\beta$, we do the same jobs for $\widetilde D_\alpha^\beta$ and $\widetilde S_\alpha^\beta$ to obtain a new generalized identity related to another Rogers-Ramanujan identity.
Finally, we discuss the Rogers-Ramanujan identities with above results.
본 논문에서는 $a_i \leg b_i$를 만족하는 임의의 두 수열 $alpha=(a_1, a_2, …)$와 $\beta=(b_1, b_2, …)$이 주어졌을 때, (α, β)-계단 분할과 (α, β)-계차 분할을 정의하였다. 그리고 각각의 분할의 집합을 $S_\alpha^\beta$와 $D_\alpha^\beta$로 표기하였다. 또한, m-하한 구별 분할과 n-상한 구별 분할을 계차 분할의 특별한 경우로 정의하였다. 다음으로 계차 분할들의 집합 $D_\alpha^\beta$에서 계단 분할들의 집합 $S_\alpha^\beta$ 로의 함수 φ를 정의하였다. 실제로 φ는 일대일대응이었다. 이로부터 우리는 자연수 n의 분할 중계차 분할들의 집합 $D_\alpha^\beta$내에 존재하는 개수와 계단 분할들의 집합 $S_\alpha^\beta$내에 존재하는 개수가 같다는 것을 알 수 있었다. 게다가, φ는 계단 분할들의 집합 $D_\alpha^\beta$내에 한 분할 λ에 대해서 $|\lambda|_a (=\sum_{i=1}^n(-1)^{i+1}\lambda_i$)과 o(φλ)를 같게 유지시켜 주었다. 그 결과로 다음 등식을 얻을 수 있었다.
\begin{displaymath}
\sum_{\lambda\in D_\alpha^\beta} q^{|\lambda|}x^{\lambda|_a}
=\sum_{\lambda\in S_\alpha^\beta} q^{|\lambda|}x^{o(\lambda|)}
\end{displaymath}
그 이후에 우리는 $D_m$과 $S_m$의 생성함수를 [1]에서의 분할 이론의 기술들을 사용하여 구했다. 그리고 두 생성함수를 비교함으로써 등식을 얻어내었다. 조합론적으로 $D^n$과 $D_m^n$의 생성함수를 구하는 것은 힘들다. 하지만 우리는 $S_n$과 $S_m^n$의 생성함수를 구해서 $D^n$과 $D_m^n$의 생성함수를 구했다.
일반적인 경우인 $D_\alpha^\beta$와 $S_\alpha^\beta$에 대해서도 생성함수를 구했다.
m=1인 경우에는 $D_m$ $(D_1)$이 Cauchy formula의 특별한 경우가 되었다. m=2인 경우에는 $D_m$ $(D_2)$가 잘 알려진 Rogers-Ramanujan identity가 되었다.
\begin{displaymath}
1+\sum_{n=1}^\infty \frac{x^{n^2}}{(1-x)(1-x^2)\cdots(1-x^n)}
=\prod_{k-1}=^\infty \frac{1}{1-x^{5k-4})(1-x^{5k-1})}.
\end{displaymath}
우리는 $\widetilde{D}_\beta^\alpha$, $\widetilde{S}_\alpha^\beta$를 $D_\alpha^\beta$, $S_\alpha^\beta$와 유사하게 정의한 후에 m=2인 경우에는 $\widetilde{D}_m$ $(\widetilde{D}_2)$가 또 다른 Rogers-Ramanujan identity가 된다는 것을 알 수 있었다.
\begin{displaymath}
1+\sum_{n=1}^\infty \frac{x^{n^2+n}}{(1-x)(1-x^2)\cdots(1-x^n)}
=\prod_{k=1}^\infty \frac{1}{(1-x^{5k-3})(1-x^{5k-2})}.
\end{displaymath}
그 후에 얻어진 결과와 아직 직접적인 조합론적 증명이 알려지지 않은 Rogers-Ramanujan identities에 대해서 살펴보았다.
