원자로계산 및 차폐계산에서 가장 정확하게 중성자의 분포를 묘사하는 방정식은 중성자 수송방정식 (neutron transport equation)으로 특히 중성자속의 방향의존성이 요구되는 문제의 경우 중성자 수송방정식의 해가 필수적으로 요구되고 있다. 일반적으로 중성자 수송방정식의 해가 사용되는 분야는 주로 중성자 차폐계산 및 원자로 핵연료집합체계산이다. 그러나 중성자 수송방정식은 일차원문제의 경우에도 매우 특수한 상황을 제외하고는 해석적인 방법들에 의해서 풀릴 수 없으므로 수많은 수치해석방법들이 개발되어 왔다. 이들 수치해석방법들은 대부분 산란선원반복법 (scattering source iteration method)이라 불리워지는 Von Neumann의 수열형태의 방법을 사용하고 있다. 그러나 산란반응이 우세한 문제들의 경우 산란선원반복계산법은 수렴성이 극도로 악화될 수 있음이 잘 알려져 있다. 따라서 이 산란선원반복법의 수렴성을 향상시키기 위한 많은 방법들이 개발되고 있다. 이에 관련된 연구들은 최근에도 활발이 진행되고 있는 분야중의 하나이다.
산란선원반복법의 수렴속도를 가속시키는 방법은 두 개의 방정식으로 구성된다. 첫째는 일반적으로 차분화된 수송방정식 즉 고차방정식 (higher-order equation) 이고 둘째는 고차방정식의 결과를 향상시키 위한 저차방정식 (lower-order equation)으로 이 저차방정식은 일반적으로 고차방정식보다 풀기가 용이해야 한다. 현재까지 가장 널리 그리고 효과적으로 사용되는 저차방정식은 중성자확산이론에 근거한 확산방정식으로 이러한 가속기법들은 확산합성가속기법 (diffusion synthetic acceleration (DSA) method)이라 불리워진다. 이러한 방법들이 매우 효과적임에 비해, 고차원 기하학적 문제나 복잡한 차분방법들의 경우 반복계산의 수를 줄이는데 있서 효과적인 DSA 방법을 고안하는 것은 매우 어려운 일이고 불가능할 수도 있다. 따라서 이런 복잡한 차분법의 경우에는 사용하기 쉬운 재균형방법 (rebalance method)들이 사용되고 있는데 이러한 기존의 재균형방법들은 산란반응이 극도로 지배적인 경우 수렴성이 극도로 약화되거나 심지어는 수렴하지 않을 수도 있다.
본 논문에서는 일반적으로 차분화된 수송방정식에 쉽게 적용될 수 있는 방향의존재균형인자 (angular dependent rebalance (ADR) factor)에 기초한 새로운 비선형가속기법을 개발하였다. 이 방법에서 저차방정식을 유도하는데 기존의 재균형방법에서 재균형인자와 동일한 물리적 의미를 가지는 재균형인자가 사용되었다. 기존의 재균형방법에서는 재균형인자는 계산격자의 내부와 경계에서 공통적으로 사용되고 또한 방향에 대한 의존성이 무시되었다. 그러나 본 논문에서 사용된 재균형인자는 계산격자의 경계면에서만 정의되고 방향에 대한 의존성을 가진다. 실제로 일차원문제의 경우 재균형인자의 방향의존성은 Double $P_N$ 전개방법이나 저차 $S_N$ 방법에 의해 근사하였으며, 이차원의 경우에는 $S_2$ 방법으로 근사하였다. 그리고 저차방정식은 재균형인자로 표현된 중성자속이 재균형인자가 근사된 방향공간에서 수송방정식을 만족하도록 하는 조건을 가하여 유도된다. 이렇게 유도된 가속기법은 다음과 같은 특징들을 가진다. 첫째 저차원방정식은 저차원수송방정식과 유사하여 고차원 및 복잡한 차분방법들에도 쉽게 적용이 가능하다. 둘째로는 기존방법과 달리 고차방정식과 저차방정식사이의 일관성이 요구되지 않는다는 점이고, 셋째로는 일차원문제의 경우 Fourier해석에 의하여 수렴성이 보장되며 수렴속도가 모든 격자크기 및 방향근사의 차수에 대하여 빠르다는 것이다. 넷째로는 재균형인자의 방향의존성을 고차로 근사할수록 수렴성이 향상된다는 점이다.
ADR 방법의 저차방정식을 풀기위한 방법으로써 본 논문에서는 세가지 방법이 제시되었다. 첫째는 가장 직관적인 방법으로 two-cyclic (이차원의 경우 four-cyclic) 방법인데 이 방법은 그다지 효과적이지 못하였다. 두 번째 방법은 대칭이고 positive definite인 저차방정식의 경우에 사용할 수 있는 conjugate gradient (CG) 방법이다. 세번째 방법은 CG를 적용할 수 없는 경우에 사용할 수 있는 bi-conjugate gradient stabilized (Bi-CGSTAB)방법이다.
본 논문에서 개발된 ADR방법을 여러문제들에 적용하여 본 결과, ADR방법이 산란선원반복법의 수렴속도를 상당히 향상시킴을 알 수 있었다. 실질적인 문제에 대하여 노달방법의 경우 산란선원반복법의 약 1/60 정도의 계산시간만이 소요되었고, 노달방법이 아닌 경우에도 이와 비슷한 정도의 계산시간의 이득을 얻을 수 있었다.
향후 연구가 지속되어야 할 부분으로는 ADR방법의 저차방정식을 보다 효과적으로 풀 수 있는 방법의 개발, 다군비등방성산란문제로의 확장, 본 논문에서 사용되지 않은 차분방법들에 대한 적용등을 들 수 있을 것이다.
