As the most simple examples of wavelets and scaling functions which are expressed in terms of their Fourier transforms, we construct and study the generalized Shannon wavelets (G-Shannon wavelets) and the generalized Shannon scaling functions (G-Shannon scaling functions) whose Fourier transforms are given by characteristic functions. One of the features of the G-Shannon wavelets is that they may or may not be associated with MRA. We characterize those G-Shannon wavelets which can be associated with MRA and give a criterion to determine whether a wavelet from a class of G-Shannon wavelets of Ha et al. can be associated with MRA or not. Another feature of the G-Shannon wavelets is the convergence of a G-Shannon wavelet expansion influenced by the slow decay of the G-Shannon wavelets. We study the pointwise convergence and the Gibbs phenomenon on the G-Shannon wavelet expansions. In contrast to the regular wavelet expansion, there is a continuous function whose G-Shannon wavelet expansion diverges. We also see that the G-Shannon wavelet is a sampling function and has the corresponding sampling theorem. By the smoothing procedure of Meyer, the generalized Meyer wavelet is constructed from the G-Shannon wavelet which has a fast decay and satisfies an oversampling theorem.
푸리에 변환으로 정의되는 웨이브릿과 스케일링 함수 중 가장 단순한 예로, 푸리에 변환이 고유 함수인 일반화된 Shannon 웨이브릿 (G-Shannon 웨이브릿)과 일반화된 Shannon 스케일링 함수 (G-Shannon 스케일링 함수)를 생성하고 그 특성을 살펴본다. G-Shannon wavelet의 특성중 하나는 어떤 G-Shannon 웨이브릿들은 MRA로부터 생성되지 않는다는 것이다. 우리는 G-Shannon 웨이브릿이 MRA로부터 만들어지기 위한 필요충분조건을 제시하고 그와 연관된 문제를 다룬다. G-Shannon 웨이브릿의 다른 특징중 하나는 소멸 속도가 매우 느리다는 점이며, 그것은 G-Shannon 웨이브릿에 의한 함수전개에 영향을 준다. 우리는 G-Shannon 웨이브릿에 의한 함수전개를 살펴보고, 깁스현상에 대하여도 생각한다. 소멸 속도가 빠른 일반적 웨이브릿과 다르게 G-Shannon 웨이브릿에 의한 함수전개에서는 수렴하지 않는 연속함수가 존재한다는 사실을 볼 수 있다. 또한, G-Shannon 웨이브릿은 샘플링 함수가 되며 우리는 그에 따른 샘플링 정리를 얻을 수 있다. 평활화 방법을 통해서, G-Shannon 웨이브릿으로부터 소멸속도가 매우 빠르며 오버샘플링 함수가 되는 일반화된 Meyer 웨이브릿을 얻을 수 있다.
