Inverse scattering problems are to determine the property of the scatterer from the measured field outside the scatterer. These inverse problems arise in a variety of applications such as geophysical exploration, remote sensing, non-destructive evaluation, medical imaging and radar target recognition and so on. There have two difficulties to solve inverse scattering problems: nonlinearity and illposedness.
For many inverse scattering problems, it suffices to derive approximate solutions when the scattering from inhomogeneity is weak. Most widely known and used methods are linearizations such as the Born approximation and the Rytov approximation, which are methods to overcome nonlinearity. Numerical methods that can overcome illposedness are the so-called regularization methods such as Tikhonov regularization, Landweber iteration, accelerated Landweber method and ν-method and so on.
In this thesis, the mathematical background on inverse medium scattering problem is described. Physical background deriving Helmholtz equation in acoustic wave, Lippmann-Schwinger equation, far field pattern, remarks on solving inverse scattering problem, regularization scheme are summarized in some detail.
Specially, the Born approximation is in brief described theoretically and two extended Born approximations suggested by Murch[40] and Jun & Choi[33] are presented in detail. Also, the numerical experiments on two extended Born approximations are presented and compared.
Finally, the Born iterative method(BIM) and the distorted Born iterative method(DBIM) are formulated and analyzed rigorously. The sufficient conditions for convergence of the BIM and the DBIM are proposed.
역산란 문제는 산란체의 밖에서 산란체를 향해 투사한 입사파에 대한 산란파를 측정하여 산란체의 특성을 알아내는 것이다. 이러한 역산란 문제는 지질 분석, 원격 탐사, 비피괴 검사, 의료 영상, 레이다 타겟 인식 등에서 일어난다. 역산란 문제를 푸는 대는 두가지 난점이 있다. 그것은 비선형과 illposedness이다.
수 많은 역산란 문제들에서는 산란체가 약산란체일때 근사해를 유도해내는 것으로 충분하다. 가장 널리 쓰이고 알려진 방법중에는 Born 근사와 Rytov 근사와 같은 선형화 방법이 있다. 이러한 방법들은 비선형을 극복하는 방법이며 illposedness를 극복하는 방법은 Tikhonov regularization, Landweber 반복법, accelerated Landweber 방법과 ν 방법 등이 있다.
본 학위 논문에서는 역산란 매체 문제에 대한 수학적 배경을 기술하였다. 음파에서 Helmholtz 방정식을 유도하는 물리적 배경과 Lippmann-Schwinger 방정식, far field pattern, 역산란 문제에 대한 이야기들과 regularization scheme에 대해 자세히 요약했다.
특히 Born 근사가 간략히 기술되며 Murch와 Jun & Choi에 위해 제시된 두가지 extended Born 근사법들이 자세히 제시되며 수치적 실험으로 두가지 근사법을 비교했다.
마지막으로 Born 역산란 해법을 기본적인 방법으로 사용하는 Born 반복 계산법과 distorted Born 반복 계산법에 대해 소개하였고 수학적으로 엄밀한 계산을 통해 수렴성에 대한 충분 조건을 각각 제시하였다.