Two efficient solution methods are presented to solve the eigenvalue problem arising in the dynamic analysis of non-proportionally damped structural systems.
The first method is obtained by applying the modified Newton-Raphson technique and the orthonormal condition of the eigenvectors to the linear eigenproblem through matrix augmentation of the quadratic eigenvalue problem. In the iteration methods, such as the vector inverse iteration method and the subspace iteration method, singularity may occur during the factorizing process when the shift value is close to an eigenvalue of the system. However, even though the shift value is an eigenvalue of the system, the proposed method provides nonsingularity, if the desired eigenvalue is not multiple, which is analytically proved. Because the modified Newton-Raphson technique is adapted to the proposed method, initial values are needed. The initial values of the proposed method can be obtained by the intermediate results of iteration methods or results of approximate methods. Because the Lanczos method effectively produces better initial values than other methods, the results of the Lanczos method proposed by Chen are taken as the initial values of the proposed method. However, the Lanczos method proposed by Chen is less efficient than the Lanczos method proposed in Chapter 4 because the former method transforms the quadratic eigenproblem of order 2n into the augmented problem of order n. The latter method retains the quadratic eigenproblem of order n without reformulation in the linearized problem with matrices of order 2n. If the latter method is taken as the algorithm to calculate the initial values in the proposed method, the efficiency of the proposed method can be more improved. Two numerical examples are presented to demonstrate the effectiveness of the proposed method.
The second solution method is presented to solve the eigenproblem arising in the dynamic analysis of non-proportional damping systems with symmetric matrices. The method is based on the use of Lanczos method to generate one pair of Krylov subspaces of trial vectors, which is then used to reduce a large eigenvalue problem to a much smaller one. The method retains the n order quadratic eigenproblem, without the need to use the method of matrix augmentation traditionally used to cast the problem as a linear eigenproblem of order 2n. In the process, the method preserves the sparseness and symmetry of the system matrices and does not invoke complex arithmetic, therefore, making it very economical for use in solving large problems. Numerical results are presented to demonstrate the good efficiency and accuracy of the method. Some results do not satisfy the predetermined physical error norm in spite of the increase of the Lanczos vectors. With the results of the Lanczos method as the initial values of the method proposed in Chapter 3, the predetermined physical error norm can be satisfied with only one or two iterations.
비비례 감쇠 시스템의 동적해석에서 야기되는 고유치 문제를 해석하기 위한 두가지 효율적인 해법을 제안하였다.
첫번째 방법은 이차 고유치 문제의 행렬 조합을 통한 선형하된 고유치 문제에 수정된 Newton-Raphson 기법과 고유벡터의 직교조건을 적용하여 제안방법의 알고리즘을 유도하였다. 벡터 반복법 또는 부분 공간 반복법과 같은 반복법에서는 수렴성을 향상시키기 위해 변위법을 적용하였으며, 이 값이 시스템의 고유치에 근사하게 되면 행렬분해 과정에서 특이성이 발생한다. 그러나 제안방법은 구하고자 하는 고유치가 중복근이 아닐 경우에, 변위값이 시스템의 고유치와 일치하더라도 항상 정칙성을 유지하며, 이것을 해석적으로 증명하였다. 제안방법은 수정된 Newton-Raphson 기법을 이용하기 때문에 초기 값을 필요로 한다. 제안방법의 초기값으로는 반복법의 중간결과난 근사법의 결과를 사용할 수 있다. 이들 방법중 Lanczos 방법이 가장 효율적으로 좋은 초기값을 제공하기 때문에 Chen에 의해 제안된 Lanczos 방법의 결과를 제안방법의 초기값으로 사용하였다. 그러나 이방법은 차수가 n인 이차 고유치 문제를 선형화를 통해 차수가 2n인 문제로 변형하여 해석하기 때문에 4장에서 제안된 Lanczos 방법보다 비효율적이다. 4장에서 제안된 Lanczows 방법은 차수가 2n인 문제로 변형하지 않고 차수가 n인 이차 고유치 문제를 그대로 유지하여 해석을 수행한다. 만약 4장에서 제안된 방법이 이방법의 초기값을 구하는 알고리즘으로 사용된다면 제안방법의 효율성은 좀 더 개선될 것이다. 제안방법의 효율성을 검증하기 위하여 두가지 예제 구조물에 대해 수치해석을 수행하였다.
두번째 방법은 대칭행렬을 가지고 있는 비비례 감쇠 시스템의 고유치 문제를 해결하기 위한 방법이다. 이방법은 Krylov 부분공간에서 벡터들을 생성하고 이들 벡터들을 이용하여 차수가 큰 고유치 문제를 보다 작은 차수를 갖는 고유치 문제로 변환하는 Lanczos 방법을 기초로 하고 있다. 제안방법은 차수를 2n으로 선형 증분하는 일반적인 기존 고유치 해법과는 달리 차수 n인 상태를 그대로 유지하기 해석한다. 또한 제안방법은 해석과정에서 시스템 행렬들의 분산성과 대칭성을 유지하며, 복소연산을 필요로 하지 않기 때문에 구조물이 대형화 될 수록 효율적이다. 제안방법의 효율성과 정확성을 증명하기 위하여 수치해석을 수행하였다. 몇몇의 해석결과는 Lanczos 벡터수를 증가시키더라도 허용오차정규를 만족하지 못하는 경우가 있다. 이들 값들을 3장에서 제안된 방법의 초기값으로 사용하면 한번 또는 두번의 반복과정만을 통해서 빠르게 허용오차정규를 만족시킬 수 있다.
