The Distribution of the system size in M/G/1 with vacations is analyzed in this thesis. While traditional analysis suggests Laplace-stiltjes transform for the system size distribution as the results, microscopic approach used in this thesis results in explicit and transform-free distribution of system size in M/G/1 with vacations. The method used in this thesis has different point of view comparing to the traditional approach. The traditional approach considers waiting space as a whole. Contrarily, the approach used in this thesis investigates waiting space as a separate component of the system, which is why the latter is called by microscopic approach. Microscopic approach can not only show most of results derived through traditional approach but it also allows us to understand and examined the behavior of the queueing system thoroughly. Even though microscopic approach gives simple and explicit expressions of the distribution of system size of vacation models, it contains unknown parameter. However, the results of microscopic approach are still useful since the property of the unknown parameter can be analyzed. Analysis on vacation model causes one additional part comparing to M/G/1 without vacation(Standard M/G/1). However, the additional part can be analyzed exactly through cycle analysis. Accordingly, the vacation model can be evaluated if the results of M/G/1 is known. Thus, Microscopic approach has shown the system behavior explicitly as well as in detail.
대기행렬 모형에 대한 연구들은 안정상태에서 시스템 내의 고객수나 대기시간의 분포 등을 구하는 분야에 많은 노력을 들여왔다. 그러나 앞서의 연구들은 대부분의 경우 고객수나 대기시간의 분포를 transform의 형태로 제시하였다. Transform 형태가 고객수에 대한 분석을 간결한 형태로 제시한다는 장점이 있기는 하지만, 고객수에 관한 모든 정보를 포괄적으로 제시하므로 분포를 실제로 구하기 위해서는 transform을 다시 inversion 해야만 하는 어려움이 있다. 이러한 어려움은 휴가형 대기행렬을 분석할 때는 transform의 복잡성으로 인해 더욱 가중된다.
본 연구에서는 M/G/1 휴가형 대기행렬의 안정상태 고객수의 분포를 transform의 형태가 아닌 새로운 방식으로 표현하는 방법을 제시하였다. 전통적인 부가 변수법(method of supplementary variable technique)은 시스템 방정식을 구하고 그것의 무한 급수를 취함으로써 transform의 형태로 시스템을 분석하였다. 그러나 본 연구에서 사용하는 방식은 기존의 부가변수법과는 달리 시스템 방정식에 무한 급수를 취하지 않고 시스템 방정식을 개별적으로 분석함으로써 transform이 아닌 형태로 시스템을 분석하는 점에 그 의의가 있다. 시스템 방정식을 개별적으로 고려함으로써 시스템을 분석하는 방식은 단순히 수학적인 조작이상의 의미를 갖는다. 이는 대기장소를 전체적으로 분석하느냐 따로이 떼어내어 개별적으로 분석하느냐의 관점의 차이로 해석할 수 있다. 즉, 시스템 방정식 하나 하나가 대기장소와 일대일로 연관된다고 했을 때 시스템 방정식에 무한 급수를 취하는 것은 대기장소를 전체적으로 분석하는 것이고, 그것들을 개별적으로 다루는 것은 대기장소 하나 하나를 의미 있게 다룬다는 것을 나타낸다. 이런 맥락에서 기존의 방법을 거시적 분석방법으로 볼 수 있으며, 본 연구에서 제시된 방식은 미시적인 접근 방법으로 분류될 수 있을 것이다.
M/G/1 휴가형 대기행렬에 관한 미시적인 분석은 대기고객수에 대한 transform-free 형태의 결과를 제시하는 것 외에도 시스템을 분석과정에서 명시적으로 이해할 수 있게 해준다는 부가적인 이점을 제시해 준다. 거시적으로 살폈을 때 볼 수 없었던 rate와 관련된 결과들이나, cycle analysis를 통해서만 구할 수 있었던 결과들을 시스템을 분석하는 과정에서 부가적으로 얻을 수 있다. 이러한 미시적 접근 방식을 통해서 얻은 결과를 고객수 분포의 근사?L} 이용한다면 최소한 고객수의 평균은 실제 분포와 일치시키면서, 서비스 시간과 휴가시간의 1,2차 모멘트만으로도 분포를 근사할 수 있다. 또한 이러한 근사적인 접근 방법은 휴가기간과 서비스 시간의 길이가 지수분포를 따를 때는 근사가 아니라 정확한 결과를 얻게 된다.