We find some conditions under which a function is a sampling function and simultaneously a scaling function, and construct such functions from a given orthonormal scaling function as an autocorrelation. The autocorrelation function constructed in this way has many good properties. For example, it is more regular than the given orthonormal scaling function and always even function. We also prove that the autocorrelation function is not orthonormal except founimodular cases, and obtain the range of support when an orthonormal scaling function has a connected symmetric compact support in the frequency domain. We present concrete examples with numerical results and graphs which illustrate our results.
하나의 고유한 기본함수의 이동과 팽창/축소로 유한 에너지를 갖는 함수 공간의 기저를 생성할 때, 그 고유한 함수를 웨이브릿이라 한다. 웨이브릿은 시간과 주파수 공간에서의 국소성과 압축, denoising, multiresolution, 정규성 등의 성질을 가지고 있다. 샘플링함수 또한 유한 에너지를 갖는 함수공간의 기저로써, 함수를 나타낼 때 각 계수가 그 함수의 정수에서의 값으로 정확히 결정됨에 따라, 계수에서 생기는 오차를 없앨 수 있다는 장점이 있다.
이 두가지 함수를 연결시켜 그 응용의 범위를 넓히고자 하는 것이 논문의 목적이다. 먼저 어떤 함수가 스케일링 함수이면서 동시에 샘플링함수가 될 조건을 찾았고, 오토코릴레이션을 사용하여 정규 스케일링함수로부터 스케일링이면서 동시에 샘플링인 함수를 만들었다. 스케일링함수는 orthogonal compact support와 대칭성을 동시에 가질 수 없지만, 오토코릴레이션으로 만들어진 샘플링함수는 compact support와 대칭성을 동시에 가질 뿐만 아니라 미분차수가 더 좋아지고 또한 주어진 정규 스케일링함수의 성질을 대부분 그대로 보존한다는 것을 보였다. 그리고 오토코릴레이션 함수는, 단위 modular 경우를 제외하고는, 일반적으로 정규성을 갖지 않음을 증명하였다. 이미 잘 알려진 Meyer 스케일링함수와 Daubechies 스케일링함수의 오토코릴레이션이 샘플링함수임을 증명하였고, Meyer 웨이브릿의 경우에는 구체적 함수를 직접 근사했을 때의 오차를 측정함으로써, Daubechies 웨이브릿의 경우에는 그래프를 그림으로써, 오토코릴레이션 함수와 주어진 스케일링함수를 비교하였다. 이외에 정규 스케일링함수가 주파수 공간에서 대칭인 하나의 구간으로 구성된 support를 가질때, support의 영역에 대한 조건을 이끌어 내었고 그런 support를 갖는 정규 스케일링이면서 동시에 샘플링인 함수를 구체적으로 구성하였다.
