We consider a matrix arising from a Nystrom method for the numerical solution of the boundary integral equation of the second kind for the planar harmonic Dirichlet problem in domains with a corner. The Nystrom method is based on the trapezoidal rule with a graded mesh at near corner. We concentrate our efforts on expressing this matrix in terms of wavelet bases with compact support via a fast wavelet transform on the purpose of obtaining sparse matrix. Upper bounds on the size of the wavelet transform elements are obtained. These bounds are then used to show that the resulting transformed matrix is sparse, having only O(NlogN) significant entries. Some numerical results are presented.
본 논문에서는 corner를 가지는 2차원 영역 위의 harmonic Dirichlet 문제를 적은 비용으로 풀기 위한 방법을 찾아 보았다. 우선 이 문제를 풀기 위해서 제 2종 경계 적분 방정식으로 변환시키고 이 경계 적분 방정식을 corner 근처에서 grader mesh를 가지는 사다리꼴 적분법을 근간으로 하는 Nystr$\ddot{o}$m 방법을 써서 선형 연립 방정식을 얻었다. 얻어낸 연립 방정식의 계수 행렬을 희소하게 만들어 연립 방정식을 푸는데 드는 비용을 절감하기위해 fast wavelet 변환을 사용하였다. fast wavelet 변환을 취하고 이로써 얻어진 행렬 요소 크기의 상계를 구하고 이 상계를 이용하여 fast wavelet 변환을 통해 얻어진 행렬의 원소 개수를 O(N log N)으로 만들 수 있음을 보였다. 본 논문에는 이런 결과에 일치하는 실험적 자료가 포함되어있다.