We study stochastic dynamics driven by white and colored noise by means of the Fokker-Planck process. Two methods for solving the Fokker-Planck equation is introduced. The one is the projection operator method and the other is the matrix continued fraction method.
In the white noise limit the study of a nonlinear Brownian oscillator using the projection operator method shows that the vibrational relaxation rate is enhanced not only by the friction and temperature, but also by the nonlinear part of the potential, which suggests that there is a coupling between the nonlinearity and randomly fluctuating force. By the matrix continued fraction method we obtain the similar results.
In the case of colored noise, changing the correlation time we examine the trend of the relaxation time of the harmonic oscillator in terms of the projection operator method. And then we compare the results with those of the matrix continued fraction method.
계의 한 입자에 미치는 나머지 입자들의 영향을 고려하지 않고 주목하는 입자가 운동량을 주위의 입자들에게 잃어가는 과정만을 생각할 수 있다면 결정론적인 운동방정식으로 나타낼 수 있다. 그러나 그 입자의 질량이 작아질수록 주위의 입자들에 의한 열적 요동을 무시할 수 없게 된다. 이런 계의 성질은 추계 미분 방정식으로 나타내어 줌으로써 고려할 수 있다. 주위로부터 작은 입자들의 불규칙적인 힘을 계속 받고 있는 비선형 브라운 진동자는 진동 이완 현상을 보인다. 이런 외부의 불규칙적인 힘을 백색 잡음과 색 잡음 두 가지로 생각할 수 있다. 이 계의 운동 방정식은 백색 잡음의 경우에 포커-플랑크 방정식으로의 전환이 쉽게 이루어지고 지수 함수적인 상관 관계가 있는 색 잡음의 경우도 변수를 하나 증가시켜 포커-플랑크 방정식으로 바꾸어 줄 수 있다.
우리는 이 포커-플랑크 방정식을 풀어주기 위해서 투영 연산자 방법과 행렬 번분수 방법을 연구하였다. 백색 잡음에서 투영 연산자 방법을 사용하여 진동 이완 속도는 마찰 계수와 온도뿐만이 아니라 포텐셜의 비선형 계수에 의해서도 빨라진다는 것을 보였다. 그리고 행렬 번분수 방법을 이용하여 투영 연산자 방법과 일치하는 스펙트럼 선모양이 얻어짐을 확인하였다.
색 잡음에서는 투영 연산자 방법을 사용하여 조화 위치 에너지하에서의 진동이완을 살펴보았다. 상관 시간을 증가시킴에 따라 진동 이완 속도는 느려지는 것을 확인하였고 이러한 현상은 행렬 연분수 방법에서도 보인다.
